同态简单来说，就是运算和映射的顺序可以交换，只是交换后，运算要变为在另一代数系统的对于运算。需要注意的是同态的相关性质、相关定理。
映射的定义
设\(A,B\)为非空集合，若存在某种对应法则\(f\)，使得对每个\(x∈A\)都有唯一确定的\(y∈B\)与之对应，则称对应法则 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的映射， 记为 \(f:A→B\)。在映射中，每个象都必然有一个原象
- 满射：任一象都能找到一个原象。一个象可以有多个原象（即，可以多对一，且象集中不能有剩余的元素）
- 单射：一个象至多只有一个原象。（若象相同则原象一定相同，若象不同则原象一定不同。象集、原象集都可以有剩下的元素）
- 双射：单设且满射。(原象集、象集中的元素一一对应)。
同态
同态的定义
设\(A=<S, *, \Delta, k>\)和\(A'=<S', *', \Delta', k'>\)是；两个具有相同构成的代数系统，\(f:S→S\)，且对\(\forall a.b∈S\)有： \[ \begin{aligned} &f(a*b)=f(a)*’f(b) \\ &f(\triangle a)=\triangle’f(a) \\ &f(k)=k’ \end{aligned} \] 则称\(f\)为从\(A\)到\(A'\)的同态映射，简称同态。\(A\) 同态于\(A\)’,记作$AA^$。
同态的分类
设\(f\)是由\(A=\{S,*,\triangle,k\}\)到\(A^{\prime}=\{S^{\prime},*^{\prime},\triangle^{\prime},k^{\prime}\}\)的一个同态。
- 满同态：若\(f\)是满射的, 则称\(f\)为由\(A\)到\(A\)’的一个满同态。\(A\)就是\(A\)在满同态\(f\)下一个同态象。
- 单一同态： 若\(f\)是单射的, 则称\(f\)为由\(A\)到\(A\)的一个单一同态。显然,\(A\)在单一同态\(f\)下的同态象\(<f(S),*^{\prime},\Delta^{\prime},k^{\prime}>\) 与\(A\)同构
- 同构: 若\(f\)是双射的, 则称\(f\)为由\(A\)到\(A\)’的一个同构映射，简称同构。\(A\)同构于\(A\)’,记作\(A\cong A^{\prime}\)。
- 自同态: 若\(A’=A\),则称\(f\)为\(A\)上的自同态。
- 自同构: 若\(A’=A\)且\(f\)是双射的, 则称\(f\)为\(A\)上的自同构
同态象的定义
设\(f\)是从\(A=<S,*,\triangle,k>\)到\(A’=<S’,*’,\triangle’,k’>\)的一个同态映射,称\(<f(S),*',△’,k>\)为\(A\)在映射\(f\) 下的同态象。其中
\[ f(S)=\{x\mid x=f(a),a\in S\}\subseteq S’ \]
下图反映了两个代数系统间的同态关系。
例题：
设代数系统<\(I,\cdot>\)，\(I\)是整数集,\(·\)是普通乘法运算。如果我们只对运算结果是正数、负数还是零关心, 那么代数系统<\(I,\cdot>\)中的运算结果的特征就可以用另一个代数系统<B , ⊙>的运算结果来表示, 其中\(B=\{+,-,0\}\), \(\odot\)是\(B\)上的二元运算, 运算表如下所示, 构造从<\(I,\cdot\)>到<\(B,\odot\)>的同态映射。
\[
\begin{align*}
& 构造函数f:I→B，\left.f(x)=\quad\left\{\begin{array}{cc}+&x>0\\-&x<0\\0&x=0\end{array}\right.\right.\\
& 显然∀a,b\in I,f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b),所以f\text{是由<}I,\cdot>到<B,\odot\text{>的一个同态}
\end{align*}
\]
同态的性质
定理1
设\(f\)是从\(A=<S,*,\triangle,k>\)到\(A’=<S’,*’, △’,k'>\)的一个同态映射, 那么\(A\)的同态象\(<f(S),*',\triangle‘,k'>\)是\(A\)'的子代数。
证明: (i)因为\(f\)是从S到S’的一个映射,所以\(f(S)∈S\) (ii)因为\(k∈S,f(k)=k\)’,所以\(k’\in f(S).\) (iii)任取\(a,b\in f(S)\),存在\(x,y∈S\),使得\(f(x)=a,f(y)=b\)。 因为\(x*y=z\in S\), 所以 \(a*b=f(x)*'f(y)=f(x*y)=f(z)\in f(S)\)，故\(f(S)\)在运算\(*'\)下是封闭的 (iv)任取\(a\in f(S)\),存在\(x\in S\)使得\(f(x)=a\)。 因为\(\triangle x\in S\),所以\(\triangle’a=\triangle’f(x){=}f(\triangle x)\in f(S)\),故\(f(S)\)在运算\(\triangle\)’下是封闭的。
综上所述，\(<f(S),*',\triangle‘,k'>\)是\(A\)'的子代数。
定理2
设\(f\)是从\(A=<S,*,°>\)到\(A'=<S',*',°'>\)的一个同态映射，\(A''=<f(S),*,°>\)是\(A\)在同态映射\(f\)下的同态象，则有：
- 若\(*\)在\(A\)中可交换，那么\(*''\)在\(A''\)中也是可交换的
- 若\(*\)在\(A\)中可结合，那么\(*''\)在\(A''\)中也是可结合的
- 若\(*\)在\(A\)中对\(°\)可分配，那么\(*''\)在\(A''\)对\(°''\)也可分配
- 若\(e\)是\(A\)中关于运算\(*\)的幺元，则f\((e)\)是\(A''\)中关于 运算$ ''$的幺元；
- 若\(θ\)是\(A\)中关于运算\(*\)的零元，则f(θ)是\(A''\)中关于运算$ ''$的零元
- 任取\(x∈S\), \(x\)对运算\(*\)有逆元\(x^{-1}\),在\(f(S)\)中，\(f(x)\)也 有关于运算$ *''\(的逆元\)f(x^{-1})$。
