原本在一个等价类上的元素经过某个运算后仍然保持等价关系，就说明该关系是该运算的同余关系；如果该关系对某个代数上的所有运算都是同于关系，那么该关系就是该代数系统上的同于关系。
运算上的同余关系的定义
设\(A=<S,*,△>\)是一个代数系统，\(~\)是载体\(S\)上的等价关系，任取\(a,b,c∈S\)。
当\(a\sim b\)时，若\(△a\sim △b\),则等价关系\(\sim\)在一元运算\(△\)下是可保持的，称\(\sim\)是关于运算\(△\)同余关系。
当\(a \sim b\)和\(c \sim d\)时，若有\(a*c \sim b*d\)，则等价关系\(\sim\)在 二元运算下是可保持的，称\(\sim\)是关于运算$ $同余关系。
例题：
- 设\(+\)是整数集合\(I\)上的普通加法运算，$\(是\)I$上的模 \(k (k∈I + )\)相等关系，问$\(在运算\)+\(上是否是\)I$上的同余关系？ \[ 任取a,b,c,d∈I，有：\\ a-b=n*k\\ c-d=m*k\\ 于是，(a+c)-(b+d) = (m+n)*k,即\sim在运算+上是I的同余关系 \]
等价关系在运算下的可保持性是指参与运算的对应元素，如果在同一个等价类中，则运算后所得的结果也必在同一个等价类中
代数系统上的同余关系的定义
设\(A=<S,*, △>\)是一个代数系统，$\(是载体S上的等价关系，若\)\(在A上的所有运算下都是可保持的，则称\)$为代数系统A上的同余关系。
- 等价关系R如果在一 个代数系统中的所有运算下都是可保持的，则R是 A上的同余关系。同余关系使得元素所在的等价类 在运算上可以作为一个整体来看待
定理1：
设\(g\)是从代数系统\(A=<S,*, △,k>\)到\(A’=<S’,*’, △’,k’>\)的一个同态映射，如果在\(A\)上定义等价关 系\(R\)为\(:\)\(<a,b>∈R\) 当且仅当$ g(a)=g(b)$ 那么，$ R\(是\)A$上的一个同余关系
商代数
设\(A=<S,*, △,k>\)是一个代数系统，$\(是A上的同余关系，\)A\(关于\)$ 的商代数 $ A/=<S/~,*’, △’,[k]>$。其中 \[ △’[a]=[△a], [a]*’[b]=[a*b] \]
- \(S/\sim\) 是集合的集合，即等价类的集合， 形如：\({[a], [b], …\} *’\),
- △’是集合之间的运算
- [k]是代数常元的集合
由等价关系R可以得到代数系统A的载体 的一个划分，以这个划分为新的载体，按照原运算 的规则建立等价类之间新的运算，这样得到的代数系统是原代数系统的商代数
例题：
代数系统\(A=<S,\triangle,\sim>\),其中\(S=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}\),一元运算\(\Delta\)和~由下表所示的运算表定义。又\(S\)上的等价关系\(R\)产生的\(S\)上的划分 \(л=\{\{a_1,a_3\},\{a_2,a_5\},\{a_4\}\}\)
证明：\(R\)是\(A\)上的同余关系
给出\(A/R\)。
只需要证明每一个划分内的元素经过运算表中的计算后仍然处于相同的划分内，即可证明\(R\)是\(A\)上的同余关系
直接将每一个取每一个划分中的第一个元素作为这个等价类的代表，然后组成新的集合，这个集合就商代数的载体\(S/R=\{[a_1],[a_2],[a_4]\}\)。而要求的\(A/R=<S/R,*',\Delta'>\)的运算表如下
\([x]\) \(*'([x])\) \(\Delta'([x])\) \([a_1]\) \([a_4]\) \([a_1]\) \([a_2]\) \([a_1]\) \([a_2]\) \([a_4]\) \([a_2]\) \([a_1]\)
