引入新的代数——半群，独异点以及后面的群都是建立在半群的概念之上。这一篇文章主要是涉及到了半群和独异点，包括其子代数，以及特殊的独异点——循环独异点
一、相关定义
1.半群定义
一个代数系统\(<S,*>\), 其中\(S\)是非空集合，\(*\)是\(S\)上一个二元运算，如果满足：运算\(*\)是可结合的，即任取\(x,y,z\in\mathbb{S}\) ,有\((x^*y)^*z=x^*(y^*z)\)，则称\(<S,*>\)为半群。也就是说，代数系统加上可结合性就是半群。
2.子半群定义
设\(<S,*>\)是一个半群，\(T{\subseteq}S\)且\(*\)在\(T\)上是封闭的，那么\(<T,*>\)是\(<S,*>\)的子代数， \(<T,*>\)也是一个半群，称为\(<S,*>\)的子半群。也就是说半群的子代数也是半群，被称为原来的半群的子半群。
3.独异点定义
含有幺元的半群。
4.子独异点
设\(<S,*,e\)>是一个独异点，\(T{\subseteq}S\) 且\(*\)在\(T\)上是封闭的，\(e{\in T}\), 那么<\(T,^*,e\)>是\(<S,^*,e\)>的子代数，\(<\)T\(,*,e\)>也是一个独异点， 称为<\(S,^*,e\)>的子独异点。简单来说，子独异点就是独异点的含有相同幺元的子代数。
- 原代数系统的子代数
- 本身是独异点
- 在相同运算下的独异点相同
5.循环独异点定义
设\(<S,*,e>\)是一个独异点，若存在一个元素\(g{\in}S\),对于\(S\)中的每一个元素\(a\), 都有一个对应的\(k\in\mathbb{N}\)使得\(a=g^k\)(任何元素的零次幂等于幺元\(e\) ), 则称此独异点为循环独异点。\(g\)称为此循环独异点的生成元。所有元素都由生成元多次运算构成。
二、相关性质
1.定理一
设\(<S,*>\)是一个半群，如果\(S\)是一个有限集，则必存在\(a\in S\),使得\(a^*\alpha=\alpha\)。有限半群必定存在等幂元
2.定理二
独异点中不存在完全相同的两行或者两列。
三、总结
- 半群：
- 定义：封闭、可结合
- 子半群：子代数、封闭
- 半群性质：有限半群中必有等幂元
- 交换半群：可交换
- 独异点 ：
- 定义：含幺元半群
- 子独异点：子集、封闭、含有幺元\(e\)，子代数
- 交换独异点：可交换
- 循环独异点：有一个生成元\(g\),每个元素都可以用 \(g^k\)表示
