涉及到有限集合的证明，通常会选择鸽巢原理进行辅助，其一般形式是构造多个元素，确定至少两者相等，随后进一步推理
一、定义
1.群的定义
设\(<G,*>\)是一个代数系统，其中\(G\)是非空集合，\(*\)是\(G\)上一个二元运算。如果满足
- 运算*是可结合的
- 存在幺元 \(e\)
- 对于每一个元素\(x\in G\),都存在逆元\(x^{-1}\in G\)
则称\(<G,*>\)是一个群。
一句话总结，每个元素的存在逆元的独异点。
2.有限群
设\(<G,*>\)是一个群，如果\(G\)是有限集，则称\(<G,*>\)为有限群。
3.无限群
设\(<G,*>\)是一个群，如果\(G\)是无限集，则称\(<G,*>\)为有限群。
4.群的阶数
有限群\(<G,*>\)的载体\(G\)的基数\(|G|\),称为群的阶。
5.群中元素的阶
对于群<\(G,*>\),由于\(*\)运算是可结合的，定义\(a^0{=}e\),当\(n\)为大于\(0\)的正整数时，有\(a^n=a*a*...*a(共n个a)\) 对于任意整数\(i,j\),有
- \(a^i*a^j=a^{i+j};\)
- \(\left(a^i\right)^j=a^{ij}\)
若存在一个使\(a^n=e\)成立的最小正整数n，则称n为元素\(a\)的阶(或周期); 否则，称元素\(a\)的阶是无限的。也就是说群中元素的阶是使该元素的幂为幺元的最小正整数。
二、性质
1.群中无零元
当群中只有一个元素的时候，一般的把 它看作幺元，如果它是零元的话，它就不符合 群的定义了。因为零元没有逆元，零元与任何 元素进行操作结果都是零元
2.逆元唯一
群中每个元素的逆元都是唯一的。
假设群中的元素\(a\)有两个逆元\(c,d\), 则：\(c=c*e=c*(a*d)=(c*a)*d=e*d=d\)
3.线性表示唯一
设\(<G,*>\)是一个群，对于\(a,b\in G\),必存在唯一的\(x\in G\), 使得\(a*x=b\)，且\(x=a^{-1}*b\)。
4.消去律
设<G,*>是一个群，对于任意\(a,b,c\in G\),若有a *b=a*c或者b*a=c*a,则必有 \(b=c\)(消去律)。
5.等幂元仅为幺元
设\(<G,*>\)是一个群，除幺元\(e\)外， 不可能有任何别的等幂元。
6.运算表由载体的置换构成
群\(<G,*>\)的运算表中的每一行或每一列都是\(G\)中元素的一个置换。
7.常见阶数的群
| 一阶群一个 | 二阶群一个 | 三阶群一个 | 四阶群有两个 | 五阶群仅一个 |
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三、部分定理
1.元素有限阶的周期性
如果群<\(G,*>\)的元素\(a\)拥有一个有限阶\(n\)，则\(a^k=e\)，当且仅当\(k\)是\(n\)的倍数。
3.元素与其逆元阶数相同
群中任何一个元素与它的逆元具 有相同的阶。
4.有限群阶数至多为群的阶数
有限群\(<G,*>\)中任何一个元素的阶数至多为\(|G|\)。
