主要讲了具有生成元的循环群以及群的判定定理
特殊的群
1.阿贝尔群(交换群)
设\(<G,*>\)是群，如果运算\(*\)是可交换的，则称该群为阿贝尔群或者交换群。
2.循环群
设\(<G,*>\)是群，若存在一个元素\(g\in G\),使得\(G\)中每一个元素\(a\in G\)都能表示成\(g^i\)(\(i\in I,I\)是整数集合)的形式，则称\(<G,*>\)为循环群，\(g\)是循环群\(<G,*>\)的一个生成元。
注：一个循环群可能存在多个生成元
循环群的相关性质
1.循环群一定是阿贝尔群(交换群)
2.循环群的生成元的阶数就是群的阶数
设\(<G,*>\)是由\(g\in G\)为生成元的有限循环群，\(|G|{=}n\),则有
- \(n\)是使\(g^n=e\)的最小正整数,即生成元的阶数为\(n\)
- \(G=\{g^1,g^2,...,g^n=e,\}\)。
子群
子群
设\(<G,*>\)是一个群，\(S\)是\(G\)的非空子集， 并满足以下条件：
- ∀\(a,b∈{S}\), 有\(a*b∈S\)(\(*\)运算对\(S\)封闭)
- ∀\(a∈S\),有\(a^{-1}∈S\)(同时包含幺元和逆元)
- \(e∈S\), \(e\)是\(<G,*>\)的幺元(继承幺元)
则称\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的子群
平凡子群
\(<G,*>\)和\(<\{e\},*>\)是\(<G,*>\)的平凡子群
子群判定定理
1.不限定载体，运算封闭加逆元包含
设\(<G,*>\)是一个群，\(S\)是\(G\)的非空子集，若运算\(*\)在\(S\)上封闭，并且\(S\)中的每个元素都有逆元，则\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的子群。
2.限定载体为有限集，只需保证封闭性即可
设\(<G,*>\)是一个群，\(S\)是\(G\)的非空子集，如果\(S\)是有限集，那么只要运算\(*\)在\(S\)上封闭，\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的子群。
3. 非空子集下的判定
设<\(G,*>\)是一个群，\(S\)是\(G\)的非空子集，如果对于\(S\)中的任意元素\(a\)和\(b\),有\(a^*b^{-1}\in S\),则\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的子群。
循环群的性质
1.循环群的子群必是循环群
相关例题
1.判断是否是循环群，并求幺元和生成元
\(<I,+>\)是无限循环群，幺元是\(0\)，生成元是\(+1\)和\(-1\)。
2.求子群
求出\(<N_{6},+_6>\)的所有子群。
3.子群判定
设\(<H,*>\)和\(<K,*>\)都是群\(<G,*>\)的子群，证明\(<H∩K,*>\)是\(<G,*>\)的子群
设\(<G,*>\)是群，任取\(a\in G\),令\(H=\{x|x^*a=a^*x,x\in G\}\)。试证明\(<H,*>\)是\(<G,*>\)的子群。
