同态的范围被扩充到了群
一、定义
群同态
设\(<G,*>\)和\(<H,*'>\)是两个群，\(h:G→H\)，若对于任意\(a,b∈G\)，都有\(h(a*b)=h(a)*'h(b)\)，则称\(h\)为从\(<G,*>\)到\(<H,*'>\)的群同态，\(<h(G),*’>\)是\(<G,*>\)的同态象
同态核
设\(h\)是从群\(<G,*>\)到\(<H,*'>\)的同态映射，\(e_H\)是\(<H,*'>\)中的幺元，\(Ker(h)=\{x|x∈G且h(x)=e_H\}\)，称\(ker(H)\)为群同态映射\(h\)的核，简称\(h\)的同态核。
二、性质
定理1
设\(h\)为从\(<G,*>\)到\(<H,*'>\)的一个同态映射，\(<G,*>\)在\(h\)下的同态象\(<h(G),*'>\)也是群。
定理2
设\(h\)为从\(<G,*>\)到\(<H,*'>\)的一个同态映射，\(<G,*>\)的在\(h\)下同态象\(<h(G),*'>\)是\(<H,*'>\)的子群。
显然\(h(e)\)是\(<h(G),*'>\)的幺元，同时根据同态映射常元部分的定义，显然\(h(e)\)也是\(<h,*'>\)中的幺元。
定理3
设\(h\)为从\(<G,*>\)到\(<H,*'>\)的一个同态映射，\(ker(H)\)是\(h\)的同态核，则\(<ker(H),*>\)是\(<G,*>\)的子群。
定理4
设<\(G,*>\)是由\(g\in G\)为生成元的循环群。
- 若\(G\)是无限集，则\(<G,*>\)与<\(I,+>\)同构。
- 若\(G\)是有限集且\(|G|{=}k\),则\(<G,*>\)与\(<N_k,+_k>\)同构。
