一、定义
陪集
设 \(<H,*>\)是群\(<G,*>\)的一个子群， \(a\in G\),则集合\(aH=\{a*b|b\in H\}\),称为由\(a\)确定的\(H\)在\(G\)中的左陪集。元素\(a\in aH\)称为左陪集\(aH\)的代表元素。 同理，\(Ha=\{b*a|b\in H\}\)称为由a确定的\(H\)在\(G\)中的右陪集。
二、相关性质
1.由相同子群引出的两个陪集要么完全相同要么毫无关系
设\(<H,*>\)是群\(<G,*>\)的一个子群， \(aH\)和\(bH\)是任意两个左陪集，那么\(aH=bH\)或\(aH\cap bH=\boldsymbol{\phi}\:\).
2.由相同子群引出的陪集阶数相同
设\(<H,*>\)是群\(<G,*>\)的一个子群， \(aH\)和\(bH\)是任意两个左陪集，那么\(|aH|=|bH|=|H|\)。
三、拉格朗日定理
同一个陪集上任意元素是等价的，即一个陪集上取两个元素组成的关系是等价关系。
设\(<H,*>\)是群\(<G,*>\)的一个子群,那么有 (1)\(R=\{<a,b>\mid a\in G\land b\in G\land a^{-1}*b\in H\}\)是\(G\)中的等价关系，且有\([a]_R{=}aH\)。 (2)若\(G\)是有限群，\(|G|=n,|H|=m\), 则\(m\mid n\)。
四、拉格朗日定理推论
1.任何质数阶的群没有非平凡子群
2.有限群中元素的阶是群的阶数的因子
3.一个质数阶的群必是循环群，并且任何与幺元不同的元素均可作为生成元
很显然由推论2里面的构建子群方法证明。
