一、环
1.定义
设\(<A,+,*>\)是一个代数系统，如果满足下列所有条件，则为环：
- \(<A,+>\)是阿贝尔群(加法群),
- \(<A,*>\)是半群，
- 乘法 \(*\) 对加法+是可分配的
2.基础运算
3.特殊环
交换环
设\(<A,+,·>\)是环，若运算\(·\)是可交换的，则称\(<A,+,·>\)是交换环。
含幺环
设\(<A,+,·>\)是环，若\(<A,·>\)中含有幺元，则称\(<A,+,·>\)是含幺环。
含零因子环
设\(<A,+,>\)是环，\(θ\) 是\(A\)中关于运算\(+\)的幺元，若对于元素\(a,b\in A,a\neq\theta,b\neq\theta\),使得\(a·b=\theta\) ,则称\(a,b\)为零因子，称<\(A,+,>\)是含零因子环。
整环
设\(<A,+,·>\)是一个代数系统，满足下列条件，则为整环
- \(<A,+>\)是阿贝尔群(交换群)
- \(<A,·>\)是可交换独异点，且无零因子(满足结合律以及存在幺元)
- 运算\(·\)对运算\(+\)可分配
4.定理
无零因子⇔可约律
设\(<A,+,·>\)是环， \(θ\)是\(A\)中关于运算\(+\)的幺元，\(<A,+,·>\)无零因子，当且仅当\(<A,+,·>\)满足可约律，即$∀a,b,c∈A，c≠θ \(，若\)c·a=c·b\(，必有\)a=b$。
二、域
1.定义
设\(<F,+,·>\)是一个代数系统，\(θ\)是\(F\)中关于运算\(+\)的幺元，满足以下条件则称其为域
- \(<F,+>\)是阿贝尔群
- \(<F-\{θ\}，·>\)是阿贝尔群
- 运算\(·\)对\(+\)是可分配的
也可以用整环来定义：设\(<F,+,·>\)是一个整环，\(|F|>1\)，\(<F-\{θ\}，·>\)是群，则\(<F,+,·>\)是域
2.定理
(1)域一定是整环
(直接由整环定义域的定义可以得到，但是不适于证明)
(2)有限整环必定是域
